Bestimme die Definitions- und Wertemenge der folgenden Funktion f(x)=x2â4â.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
1. Definitionsmenge
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
x2â4â: PrĂŒfe, wann der Radikand x2â4 gröĂer oder gleich null ist.
x2â4 | â„ | 0 | +4 |
x2 | â„ | 4 | â |
âŁx⣠| â„ | 2 |
Der Radikand ist also gröĂer oder gleich null, wenn xâ€â2 oder xâ„2 ist.
Das Intervall ]â2;2[ muss also aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Die Definitionsmenge fĂŒr die Funktion f(x) lautet dann:
Gleichwertig ist folgende Darstellung des Definitionsbereiches:
2. Wertemenge
Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Betrachte das linke Intervall des Definitionsbereiches ]ââ;â2].
Setzt du die rechte Grenze des Intervalls x=â2 in die Funktionsgleichung ein, so erhĂ€ltst du den kleinstmöglichen Funktionswert f(â2)=0.
FĂŒr alle anderen Funktionswerte aus diesem Intervall gilt: f(x)>0 und xâââlimâf(x)=â.
Betrachte das rechte Intervall des Definitionsbereiches ]2,â].
Setzt du die linke Grenze des Intervalls x=2 in die Funktionsgleichung ein, so erhÀltst du den kleinstmöglichen Funktionswert f(2)=0.
FĂŒr alle anderen Funktionswerte aus diesem Intervall gilt: f(x)>0 und xâ+âlimâf(x)=â
Die Wertemenge ist demnach: